2D और 3D ज्योमेट्री / 2D and 3D Geometry

अध्याय का परिचय / Chapter Introduction:

2D और 3D ज्योमेट्री में हम समतल ज्यामिति और त्रि-आयामी ज्यामिति के सिद्धांतों को समझते हैं। यह अध्याय NDA परीक्षा में महत्वपूर्ण होता है क्योंकि इससे जुड़े प्रश्न छात्रों की स्थानिक कल्पना शक्ति और विश्लेषणात्मक क्षमता का मूल्यांकन करते हैं।

टिप्स और ट्रिक्स / Tips and Tricks:

• 2D ज्योमेट्री में रेखा की समीकरण, वृत्त, परवलय आदि की सामान्य रूपों को याद रखें।
• 3D ज्योमेट्री में दिशांक (direction cosines) और दिशांक अनुपात (direction ratios) की अवधारणाएं स्पष्ट होनी चाहिए।
• Coordinate geometry के प्रश्नों में visualization महत्वपूर्ण होता है।

संकेत आधारित प्रश्न / Hint-Based Questions

Q1: 3D space में दो बिंदुओं (2, -1, 4) और (-2, 3, 1) के बीच की दूरी ज्ञात करें। / Find the distance between points (2, -1, 4) and (-2, 3, 1) in 3D space.

• Step 1: दूरी का सूत्र लगाएं: √[(x2−x1)² + (y2−y1)² + (z2−z1)²]
• Step 2: अंतर निकालें: (-2-2), (3+1), (1-4)
• Step 3: स्क्वायर करें और जोड़ें: 16 + 16 + 9 = 41
• Step 4: √41 = 6.4 (लगभग)

Q2: रेखा की समीकरण ज्ञात करें जो बिंदुओं (1,2,3) और (4,5,6) से गुजरती हो। / Find the equation of the line passing through (1,2,3) and (4,5,6).

• Step 1: दिशा अनुपात निकालें: (4-1, 5-2, 6-3) = (3,3,3)
• Step 2: रेखा की समीकरण: x=1+3t, y=2+3t, z=3+3t

अभ्यास प्रश्न / Practice Questions

1. यदि किसी रेखा का दिशा अनुपात (2, -1, 2) है, तो उस रेखा की दिशा कोसाइन ज्ञात करें। / Find direction cosines of a line with direction ratios (2, -1, 2).
2. त्रि-आयामी निर्देशांक प्रणाली में मूल से दूरी 5 यूनिट है और बिंदु x-y plane पर स्थित है, तो उसका z-coordinate क्या होगा? / If a point is 5 units from origin and lies on x-y plane, what is its z-coordinate?
3. बिंदु (1, 2, -1) और (3, -2, 4) के बीच की दूरी ज्ञात करें। / Find the distance between points (1,2,-1) and (3,-2,4).
4. x² + y² = 25 का ज्यामितीय निरूपण क्या है? / What is the geometrical representation of x² + y² = 25?
5. 3D geometry में स्केलर प्रोडक्ट और वेक्टर प्रोडक्ट में अंतर स्पष्ट करें। / Explain the difference between scalar and vector product in 3D geometry.