Matrices & Determinants / मैट्रिक्स और डिटरमिनेंट्स
Goal of this chapter: By the end of this lesson, you will feel confident with the key NDA-level concepts of Matrices & Determinants / मैट्रिक्स और डिटरमिनेंट्स and be able to solve exam-style questions on your own.
हिंदी Note: इस chapter को आराम से पढ़िए – examples और छोटे-छोटे अभ्यास के साथ। एक बार समझ आ गया तो NDA में Matrices & Determinants / मैट्रिक्स और डिटरमिनेंट्स के सवाल आपके लिए बहुत आसान हो जाएंगे 😄
Overview / अवलोकन
Matrices are rectangular arrays of numbers or functions. Determinants are scalar values that can be computed from a square matrix and provide information about the matrix. / मैट्रिक्स संख्याओं या फलनों की आयताकार संरचना होती है। डिटरमिनेंट्स स्केलर मान होते हैं जो एक वर्गाकार मैट्रिक्स से निकाले जाते हैं और उसकी विशेषताएँ बताते हैं।
Key Concepts / प्रमुख अवधारणाएं
- Matrix Types / मैट्रिक्स के प्रकार: Row, Column, Square, Zero, Identity
- Matrix Operations / मैट्रिक्स संक्रियाएँ: Addition, Subtraction, Multiplication
- Determinant of a 2x2 and 3x3 matrix / 2x2 और 3x3 मैट्रिक्स का डिटरमिनेंट
- Adjoint and Inverse of a Matrix / मैट्रिक्स का एडजॉइंट और इनवर्स
Tips & Tricks / टिप्स और ट्रिक्स
- Only square matrices have determinants. / केवल वर्गाकार मैट्रिक्स का डिटरमिनेंट होता है।
- The inverse exists only if determinant ≠ 0. / यदि डिटरमिनेंट शून्य नहीं है, तभी इनवर्स संभव है।
- AB ≠ BA in matrix multiplication. / मैट्रिक्स गुणा में AB हमेशा BA के बराबर नहीं होता।
Hint-Based Questions / संकेत आधारित प्रश्न
- Find the determinant of the matrix: [[2, 3], [4, 5]]. (Hint: ad - bc) / [[2, 3], [4, 5]] का डिटरमिनेंट ज्ञात करें। (संकेत: ad - bc)
- If A is a 2x2 matrix with determinant 7, what is the determinant of 2A? / यदि A एक 2x2 मैट्रिक्स है जिसका डिटरमिनेंट 7 है, तो 2A का डिटरमिनेंट क्या होगा?
- What is the inverse of matrix [[1, 2], [3, 4]]? (Hint: Use adjoint and determinant) / [[1, 2], [3, 4]] का इनवर्स क्या है? (संकेत: एडजॉइंट और डिटरमिनेंट का प्रयोग करें)
- Is the matrix [[1, 0], [0, 0]] invertible? Why? / क्या [[1, 0], [0, 0]] मैट्रिक्स का इनवर्स संभव है? क्यों?
- If determinant of matrix A is 5, then what is the determinant of A⁻¹? / यदि A का डिटरमिनेंट 5 है, तो A⁻¹ का डिटरमिनेंट क्या होगा?
Practice Questions / अभ्यास प्रश्न
- Find the determinant of the matrix: [[1, 2], [3, 4]]
- Find the inverse of the matrix: [[2, 5], [1, 3]]
- Evaluate the determinant of a 3x3 matrix: [[1, 0, 2], [-1, 3, 1], [3, 2, 0]]
- If A and B are matrices such that AB = BA, is AB necessarily equal to BA? Explain.
- If A is an identity matrix, what is A⁻¹?
🧠 Hint-Based Practice Questions (संकल्पनात्मक अभ्यास प्रश्न)
- If A is a 2x2 matrix such that A^2 = I, then which of the following must be true about A? 👉 Hint: Since A^2 = I, it means A is an involutory matrix. So, the inverse of A is A itself.
- Given |A| = 5 and |B| = 3, what is |AB|? 👉 Hint: Use the property |AB| = |A||B|. So, |AB| = 5 × 3 = 15.
- If the determinant of a matrix is zero, what can you say about its inverse? 👉 Hint: A matrix with zero determinant is singular. Hence, it does not have an inverse.
- What is the rank of a 3x3 matrix if all its rows are linearly dependent? 👉 Hint: If rows are linearly dependent, the maximum number of linearly independent rows is less than 3. So, rank < 3.
- If matrix A is symmetric, what does it imply about Aᵀ? 👉 Hint: For a symmetric matrix, Aᵀ = A. So, the transpose of A is equal to A.
- How do you find the adjoint of a matrix? 👉 Hint: To find adjoint: 1. Find cofactor matrix, 2. Take its transpose.
Quick Recap | सार
Now you should be able to:
- Recall the key ideas of this chapter without looking at the book.
- Solve most NDA-style questions of this topic step by step.
- Identify and avoid the most common traps used in competitive exams.
Self-check: अगर practice questions अपने आप हो रहे हैं, तो chapter strong है। जो सवाल अटकते हैं, बस उन्हें दोबारा देख लें।
Common Exam Mistakes | आम गलतियाँ
- जल्दी-जल्दी में question पूरा पढ़े बिना solve करना।
- Sign (+/−) या power गलत लिख देना।
- Last step में calculation check न करना – आधा काम सही, answer गलत।
ध्यान रखिए: NDA में topper वो नहीं जो सब कुछ जानता है, बल्कि वो है जो छोटी-छोटी गलतियाँ avoid कर देता है।